Analysis by Anton Deitmar (auth.) PDF

By Anton Deitmar (auth.)

ISBN-10: 3642548091

ISBN-13: 9783642548093

ISBN-10: 3642548105

ISBN-13: 9783642548109

​In diesem Lehrbuch wird der Stoff einer dreisemestrigen Anfängervorlesung zur research in einer bisher nicht gekannten Prägnanz dargeboten ohne dass die Verständlichkeit der sprachlichen Darstellung dadurch vernachlässigt wird. Das Buch bietet so eine umfassende Vollständigkeit des Stoffes, die ihres Gleichen sucht.

Die Inhalte decken die in einer heutigen Bachelor-Vorlesung zum Thema üblichen Themen ab: Ein- und mehrdimensionale Differential- und Integralrechnung, gewöhnliche Differentialgleichungen, Maß- und Integrationstheorie, Differentialformen und der Satz von Stokes. Darüber hinaus sind Kapitel über metrische Räume und allgemeine mengentheoretische Topologie enthalten.

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8 (Die umgekehrte Dreiecksungleichung). Fur ¨ Elemente a, b eines angeordneten K¨orpers K gilt |a| − |b| ≤ |a − b|. Beweis. Es gilt |a| = |b + a − b| ≤ |b| + |a − b|, also |a| − |b| ≤ |a − b|. Man vertauscht die Rollen von a und b und erh¨alt ebenso |b| − |a| ≤ |b − a| = |a − b|. Damit folgt |a| − |b| = max (|a| − |b|, |b| − |a|) ≤ |a − b|. 4. 4 39 Intervalle und beschr¨ankte Mengen Sei K ein angeordneter Korper und seien a ≤ b Elemente von K . Das ¨ abgeschlossene Intervall [a, b] ist die Menge [a, b] = {x ∈ K : a ≤ x ≤ b}.

2. ’kleiner’-Relation • Die Korper Q und R sind mit der gewohnlichen ¨ ¨ angeordnete Korper. ¨ • Nicht auf jedem Korper existiert eine Anordnung. Zum Beispiel kann ¨ man auf dem Korper F2 keine Anordnung finden, denn ist 0 < 1, so ¨ folgt durch Addition der Eins 1 = 1 + 0 < 1 + 1 = 0, also 1 < 0 und ebenso folgt aus 1 < 0 auch 0 < 1, also in jedem Fall ein Widerspruch! 3 (Folgerungen aus den Anordnungsaxiomen). Seien a, b, x, y Elemente des angeordneten K¨orpers K . a) Es gilt x < y ⇔ 0 < y − x.

4. Nach diesem Lemma kann es auch auf dem Korper C der ¨ 2 komplexen Zahlen keine Anordnung geben, denn es ist −1 = i > 0, was nach Addition von 1 zu 0 > 1 und damit zum Widerspruch fuhrt. 5. Ein angeordneter K¨orper K hat stets unendlich viele Elemente. Genauer ist die Abbildung N → K , die n auf die n-fache Summe 1 + 1 + · · · + 1 der Eins in K wirft, eine injektive Abbildung. Beweis. Es bezeichne nK die n-fache Summe der Eins in K . Durch eine einfache Induktion zeigt man (m + k)K = mK + kK fur ¨ alle m, k ∈ N.

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by Richard
4.0

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